FestivalNauki.ru
En Ru
cентябрь-ноябрь 2019
176 городов
September – November 2019
312 cities
11-13 октября 2019
МГУ | Экспоцентр | 90+ площадок
14–16 октября 2016
Центральная региональная площадка
28–30 октября 2016
ИРНИТУ, Сибэскпоцентр
14–15 октября 2016
Центральная региональная площадка
23 сентября - 8 октября 2017
«ДонЭкспоцентр», ДГТУ
ноябрь-декабрь 2018
МВДЦ «Сибирь»,
Вузы и научные площадки города
6-8 октября 2017
Самарский университет
27-29 октября
Кампус ДВФУ, ВГУЭС
30 сентября - 1 октября
Ледовый каток «Родные города»
21-22 сентября 2018 года
ВКК "Белэкспоцентр"
9-10 ноября 2018 года
Мурманский областной Дворец Культуры
21-22 сентября 2019 года
22-23 октября 2019 года
29-30 ноября 2019 года
7-8 сентября 2019 года
27-29 сентября 2019 года
4-5 октября 2019 года
10-12 октября 2019 года

Математики создали новую геометрию

Математики из МГУ совместно с иностранными специалистами заложили основы Нийенхейсовой геометрии — раздела математики, который тесно связан с интегрируемыми системами, алгеброй, дифференциальной геометрией и математической физикой. Работы (1 и 2), поддержанные грантом РНФ, можно найти на сайте arXiv.org, сейчас они готовятся к публикации в ведущих мировых математических журналах.

В основе современной физики лежит геометрия. Так, например, теория относительности Альберта Эйнштейна связана с псевдоримановой геометрией. В этой геометрии информация о геометрической структуре записывается в виде матрицы — заключенных в таблицу элементов объекта, который изучают математики. В такой таблице все элементы имеют два номера — номер строки, где он записан, и номер столбца. Так же, как в Экселе.

Компоненты, то есть значения элементов таблицы, меняются от точки к точке. Если размерность пространства, например, три (длина, ширина и высота), то размер такой матрицы 3 на 3, то есть у нее 9 параметров. На матрицу накладывается дополнительное условие — симметричность. Это значит, что элементы матрицы, симметричные относительно диагонали, одинаковы. Это значит, что количество параметров не 9, а 6. Свою теорию относительности Альберт Эйнштейн формулировал именно в терминах псевдоримановой геометрии — это ее математический инструментарий. Он объединил пространство и время, получив четырехмерный объект, поэтому матрица у него имеет размер 4 на 4. В свою очередь, уравнение Эйнштейна описывает гравитацию через компоненты матрицы. Именно его численно решают астрофизики, когда пытаются описать поведение физических объектов в окрестности черных дыр.

Другая геометрия, которую используют в классической механике и частично в квантовой, называется Пуассоновой. В ней вся геометрическая информация содержится в матрице, которая в этом случае не симметрична, а кососимметрична. Это означает, что на месте ij в этой матрице стоит та же функция, что и на ji, только взятая со знаком минус. На компоненты этой матрицы наложены дополнительные условия — система дифференциальных тождеств Якоби.

Пуассонова геометрия возникла сначала как инструмент в теории динамических систем. Сейчас ее используют, например, в теории деформационного квантования, за создание которой известный французский математик российского происхождения Максим Концевич получил премию Филдса и дважды премию Миллера (один раз — за физическую часть, другой раз — как раз за соответствующий математический инструментарий). Эта теория позволяет комплексно подходить к переходу от классической физики к квантовой. Сегодня в этом направлении множество вопросов, которые активно изучаются.

«В своих работах мы обратились к геометрии, где информация о структуре также содержится в матрице. Важное отличие в том, что это за матрица, — пояснил Андрей Коняев, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры дифференциальной геометрии механико-математического факультете МГУ. — Традиционно матрицами в математике записывают три разных объекта — билинейная форма, 2-вектор и оператор. Матрицами их записывают потому, что эти объекты называются тензорами и правильно преобразуются при замене координат. В псевдоримановой геометрии фигурируют билинейная форма, в пуассоновой — 2-вектор, а в новой геометрии, которая получила название Нийенхейсовой, речь про операторы».

Представьте себе обычную материю: кусочек скатерти или полотенце. Оно состоит из переплетенных нитей. Часть нитей идет, условно, слева направо, а часть — сверху вниз. Если скатерть повидала виды, то на ней есть зацепки, стяжки. Двумерное пространство с оператором Нийнехейса представляет собой что-то похожее — через каждую точку протянуты нити. В этом смысле теорема о расщеплении говорит, как локально устроено плетение нашей «скатерти», а изучение особых точек (теорема о линеаризации) — какие бывают простейшие узелки и зацепки.

На матрицу в нийенхейсовой геометрии тоже наложены некоторые условия, которые были открыты Альбертом Нийенхейсом еще в 50-х годах прошлого века. Несмотря на то, что этот объект был в распоряжении математиков последние 60 лет, он рассматривался как некий вспомогательный объект для решения других задач.

Похожая ситуация была с Пуассоновой геометрией в 70-х годах прошлого века до тех пор, пока нескольким математикам не удалось заложить фундамент Пуассоновой геометрии. Этот фундамент — некоторый набор базовых теорем, которые раскрывают богатство структуры и демонстрируют потенциал для ее изучения. 

Одним из таких ученых был Алан Вайнштейн. Ему удалось доказать так называемую теорему о расщеплении и заложить основы линеаризации — обе эти математические идеи позже превратились в целые направления.

«В новых работах удалось получить похожие по глубине результаты — теорему о расщеплении для операторов Нийнехейса, а также сформулировать и в некоторых случаях решить проблему линеаризации. В этих же работах мы продемонстрировали глубокие связи полученных результатов с другими областями математики и математической физики».

Исследование проводили сотрудники МГУ имени М.В.Ломоносова, Университета Лафборо (Англия) и Йенского университета (Германия).

Источник: Пресс-служба МГУ

Добавьте свой комментарий

Plain text

  • Переносы строк и абзацы формируются автоматически
  • Разрешённые HTML-теги: <p> <br>
LiveJournal
Регистрация

Новости в фейсбук

Случайные статьи

Почему карандаш не пишет на руках, а ручка пишет?

Открыта асимметричность связей левого и правого гиппокампов с другими областями головного мозга

Применив новые нейрокогнитивные и математические подходы, коллектив российских ученых при участии ученых из МГУ впервые описал взаимодействия между гиппокампом и другим

Прощай, Большой взрыв. Здравствуй, черная дыра?

Может ли знаменитая теория Большого взрыва нуждаться в пересмотре? Группа физиков-теоретиков предполагает, что рождение Вселенной могло произойти в результате того, что четырехмерная звезда коллапсировала в черную дыру и выбросила свои обломки.

Возьмёмся за ум! Стране нужна национальная программа исследований мозга

Физики исследовали свойства сплавов Гейслера

Международная группа исследователей при участии ученых из МГУ имени М.В.Ломоносова проанализировала свойства сплавов Гейслера.